Definition: A number of the form \( z = a+bi \), where \(a\) and \(b\) are real numbers and \( i = \sqrt{-1} \) (so \( i^2 = -1 \)).
વ્યાખ્યા: \( z = a+bi \) સ્વરૂપની સંખ્યાને સંકર સંખ્યા કહે છે, જ્યાં \(a\) અને \(b\) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને \( i = \sqrt{-1} \).
Application: Used in electrical engineering for AC circuit analysis to represent alternating currents and voltages.
ઉપયોગ: ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગમાં AC સર્કિટના વિશ્લેષણ માટે.
Re
Im
z = a + ib
Example 1: Evaluate \( i^4 \)ઉદાહરણ 1: કિંમત શોધો \( i^4 \)
Step 1: Write \( i^4 \) in terms of squares. \( i^4 = (i^2)^2 \).(\( i^4 \) ને વર્ગના રૂપમાં લખો.)
Step 2: We know that \( i^2 = -1 \).(આપણે જાણીએ છીએ કે \( i^2 = -1 \).)
Step 3: Substitute the value: \( (-1)^2 = 1 \).(કિંમત મૂકો: \( (-1)^2 = 1 \).)
Final Answer: \( 1 \)
Example 2: Evaluate \( i^{10} \)ઉદાહરણ 2: કિંમત શોધો \( i^{10} \)
Step 1: Break the power into multiples of 4: \( i^{10} = i^8 \cdot i^2 \).(ઘાતને 4 ના ગુણાંકમાં વિભાજીત કરો.)
Step 2: Rewrite \( i^8 \) as \( (i^4)^2 \).(\( i^8 \) ને \( (i^4)^2 \) તરીકે લખો.)
Step 3: Since \( i^4 = 1 \) and \( i^2 = -1 \), substitute: \( (1)^2 \cdot (-1) \).(કિંમતો મૂકીને ગુણાકાર કરો.)
Final Answer: \( -1 \)
Example 3: Evaluate \( i^7 \)ઉદાહરણ 3: કિંમત શોધો \( i^7 \)
Step 1: Break down the power: \( i^7 = i^4 \cdot i^3 \).(ઘાતને વિભાજીત કરો.)
Step 2: We know \( i^4 = 1 \) and \( i^3 = -i \).(આપણે જાણીએ છીએ કે \( i^4 = 1 \) અને \( i^3 = -i \).)
Step 3: Multiply the values: \( 1 \cdot (-i) \).(કિંમતો નો ગુણાકાર કરો.)
Final Answer: \( -i \)
Example 4: Evaluate \( i + i^2 + i^3 + i^4 \)ઉદાહરણ 4: કિંમત શોધો
Step 1: Substitute standard values: \( i = i \), \( i^2 = -1 \), \( i^3 = -i \), \( i^4 = 1 \).(મૂળભૂત કિંમતો મૂકો.)
Step 2: Add them together: \( i + (-1) + (-i) + 1 \).(તેમનો સરવાળો કરો.)
Step 3: Cancel opposite terms: \( i \) cancels with \( -i \), and \( -1 \) cancels with \( 1 \).(વિરુદ્ધ પદો રદ કરો.)
Final Answer: \( 0 \)
Definition: Performing mathematical operations like addition, subtraction, multiplication, and division on complex numbers by separating real and imaginary parts.
વ્યાખ્યા: સંકર સંખ્યાઓના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગને અલગ રાખી સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવા.
Application: Signal processing and combining multiple wave frequencies.
ઉપયોગ: સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ અને વિવિધ ફ્રિકવન્સીને જોડવા માટે.
z&sub1;
z&sub2;
z&sub1; + z&sub2;
Example 1: Simplify \( (3+4i)(4-5i) \)ઉદાહરણ 1: સાદું રૂપ આપો
Step 1: Multiply each term (FOIL): \( 3(4) + 3(-5i) + 4i(4) + 4i(-5i) \).(દરેક પદનો ગુણાકાર કરો.)
Step 2: Calculate products: \( 12 - 15i + 16i - 20i^2 \).(ગુણાકારની કિંમત શોધો.)
Step 3: Substitute \( i^2 = -1 \): \( 12 + i - 20(-1) \).(\( i^2 = -1 \) કિંમત મૂકો.)
Final Answer: \( 32 + i \)
Example 2: Find \(x, y\) if \( (2x-y) + 2yi = 6 + 4i \)ઉદાહરણ 2: \(x, y\) શોધો
Step 1: Compare imaginary parts: \( 2y = 4 \).(કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવો.)
Step 2: Solve for \( y \): \( y = 4/2 = 2 \).(\( y \) માટે ઉકેલો.)
Step 3: Compare real parts: \( 2x - y = 6 \).(વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવો.)
Step 4: Put \( y=2 \): \( 2x - 2 = 6 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \).(\( y=2 \) કિંમત મૂકો અને \(x\) શોધો.)
Final Answer: \( x = 4, y = 2 \)
Example 3: Expand \( (1+i)^2 \)ઉદાહરણ 3: વિસ્તરણ કરો
Step 1: Use algebraic identity \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).(બીજગણિતનું સૂત્ર વાપરો.)
Step 2: Substitute values: \( (1)^2 + 2(1)(i) + (i)^2 \).(કિંમતો મૂકો.)
Step 3: Simplify terms: \( 1 + 2i + i^2 \).(સાદું રૂપ આપો.)
Step 4: Substitute \( i^2 = -1 \): \( 1 + 2i - 1 \).(\( i^2 = -1 \) કિંમત મૂકો.)
Final Answer: \( 2i \)
Example 4: Add \( (2+3i) + (1-4i) \)ઉદાહરણ 4: સરવાળો કરો
Step 1: Group real parts: \( (2 + 1) \).(વાસ્તવિક ભાગો ભેગા કરો.)
Step 2: Group imaginary parts: \( (3i - 4i) \).(કાલ્પનિક ભાગો ભેગા કરો.)
Step 3: Add the grouped parts: \( 3 + (-i) \).(બંને નો સરવાળો કરો.)
Final Answer: \( 3 - i \)
Definition:
Conjugate (\(\bar{z}\)): Flips the sign of the imaginary part (\( a - bi \)).
Modulus (\(|z|\)): Distance from the origin, calculated as \( \sqrt{a^2+b^2} \).
Inverse (\(z^{-1}\)): Multiplicative inverse, formulated as \( \frac{\bar{z}}{|z|^2} \).
વ્યાખ્યા: અનુબદ્ધ સંખ્યા કાલ્પનિક ભાગનું ચિહ્ન બદલે છે. માનાંક એ ઉગમબિંદુથી અંતર છે. વ્યસ્ત એટલે ૧ ના છેદમાં સંકર સંખ્યા.
Application: Used in control systems to find system stability margins.
ઉપયોગ: કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સમાં સ્થિરતા શોધવા માટે.
z
z̄ (Conjugate)
|z|
Example 1: Modulus of \( 5-12i \)ઉદાહરણ 1: માનાંક શોધો
Step 1: Use modulus formula \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \).(માનાંક માટેનું સૂત્ર વાપરો.)
Step 2: Identify \( a = 5 \), \( b = -12 \).(\( a \) અને \( b \) ઓળખો.)
Step 3: Calculate squares: \( 5^2 = 25 \), \( (-12)^2 = 144 \).(વર્ગ કરો.)
Step 4: Add and take square root: \( \sqrt{25+144} = \sqrt{169} \).(સરવાળો કરી વર્ગમૂળ કાઢો.)
Final Answer: \( 13 \)
Example 2: Inverse of \( Z = 3+4i \)ઉદાહરણ 2: વ્યસ્ત શોધો
Step 1: Formula for inverse is \( Z^{-1} = \frac{\bar{Z}}{|Z|^2} \).(વ્યસ્ત નું સૂત્ર લખો.)
Step 2: Find conjugate \( \bar{Z} = 3 - 4i \).(અનુબદ્ધ સંખ્યા શોધો.)
Step 3: Find squared modulus \( |Z|^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \).(માનાંકનો વર્ગ શોધો.)
Step 4: Substitute values into the formula.(સૂત્રમાં કિંમત મૂકો.)
Final Answer: \( \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i \)
Example 3: Conjugate of \( \frac{2+3i}{3+2i} \)ઉદાહરણ 3: અનુબદ્ધ સંખ્યા શોધો
Step 1: Rationalize by multiplying with \( \frac{3-2i}{3-2i} \).(છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા વડે ગુણો.)
Step 2: Multiply numerators: \( 6 - 4i + 9i - 6(-1) = 12 + 5i \).(અંશનો ગુણાકાર કરો.)
Step 3: Multiply denominators: \( 3^2 - (2i)^2 = 9 + 4 = 13 \).(છેદનો ગુણાકાર કરો.)
Step 4: Change the sign of the imaginary part to find conjugate.(કાલ્પનિક ભાગનું ચિહ્ન બદલો.)
Final Answer: \( \frac{12}{13} - \frac{5}{13}i \)
Example 4: Inverse of \( \frac{2+3i}{4-3i} \)ઉદાહરણ 4: વ્યસ્ત શોધો
Step 1: Let \( W = \frac{2+3i}{4-3i} \). Its inverse is \( W^{-1} = \frac{4-3i}{2+3i} \).(સંખ્યાને વ્યસ્ત કરો.)
Step 2: Rationalize denominator: multiply by \( \frac{2-3i}{2-3i} \).(છેદની અનુબદ્ધ કરણી વડે ગુણો.)
Step 3: Numerator: \( 8 - 12i - 6i + 9i^2 = -1 - 18i \).(અંશનું સાદું રૂપ આપો.)
Step 4: Denominator: \( 2^2 + 3^2 = 13 \).(છેદનું સાદું રૂપ આપો.)
Final Answer: \( \frac{-1 - 18i}{13} \)
Definition: Argument (\(\theta\)) is the angle made with the positive real axis. Polar form represents the complex number as \( Z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \).
વ્યાખ્યા: કોણાંક એ વાસ્તવિક અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. ધ્રુવીય સ્વરૂપ \( Z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) છે.
Application: Used to analyze circular motion and electromagnetic waves.
ઉપયોગ: વર્તુળાકાર ગતિ અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોના વિશ્લેષણમાં.
Example 1: Polar form of \( 1+i \)ઉદાહરણ 1: ધ્રુવીય સ્વરૂપ
Step 1: Find Modulus \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).(માનાંક શોધો.)
Step 2: Find angle \( \alpha = \tan^{-1}(1/1) = \frac{\pi}{4} \).(ખૂણો શોધો.)
Step 3: Since \( a>0, b>0 \) (Quad I), \( \theta = \frac{\pi}{4} \).(પ્રથમ ચરણમાં છે, તેથી કોણાંક નક્કી કરો.)
Step 4: Write in formula \( Z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \).(ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખો.)
Final Answer: \( \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) \)
Example 2: Polar form of \( 1+\sqrt{3}i \)ઉદાહરણ 2: ધ્રુવીય સ્વરૂપ
Step 1: Find Modulus \( r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \).(માનાંક શોધો.)
Step 2: Find angle \( \alpha = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = \frac{\pi}{3} \).(ખૂણો શોધો.)
Step 3: Quadrant I, so \( \theta = \frac{\pi}{3} \).(પ્રથમ ચરણ હોવાથી કોણાંક સરખો રહેશે.)
Final Answer: \( 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) \)
Example 3: Convert \( 1-\sqrt{3}i \) to polarઉદાહરણ 3: ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવો
Step 1: Find Modulus \( r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2 \).(માનાંક શોધો.)
Step 2: Find angle \( \alpha = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = \frac{\pi}{3} \).(ખૂણો શોધો.)
Step 3: Quadrant IV (\( a>0, b<0 \)), so \( \theta = -\frac{\pi}{3} \).(ચોથા ચરણમાં હોવાથી કોણાંક ઋણ થશે.)
Final Answer: \( 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) \)
Example 4: Find arg(\(-1\))ઉદાહરણ 4: કોણાંક શોધો
Step 1: Write as complex number \( Z = -1 + 0i \).(સંકર સંખ્યા તરીકે લખો.)
Step 2: Identify coordinates: \( a = -1, b = 0 \).(યામ ઓળખો.)
Step 3: The point lies directly on the negative real axis.(બિંદુ ઋણ વાસ્તવિક અક્ષ પર છે.)
Step 4: Angle for negative real axis is \( \pi \).(ઋણ અક્ષ માટે ખૂણો \( \pi \) છે.)
Final Answer: \( \pi \)
Definition: For any integer \(n\), \( (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \).
વ્યાખ્યા: કોઈપણ પૂર્ણાંક \(n\) માટે, \( (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \).
Application: Finding large powers and roots of complex variables in quantum mechanics effortlessly.
ઉપયોગ: ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં મોટી ઘાતની ગણતરી સરળતાથી કરવા.
z
Example 1: Evaluate \( (\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})^4 \)ઉદાહરણ 1: કિંમત શોધો
Step 1: Apply De Moivre's Theorem. Multiply angle by power 4.(પ્રમેય મુજબ ખૂણાને ઘાત 4 વડે ગુણો.)
Step 2: Expression becomes: \( \cos(4 \cdot \frac{\pi}{2}) + i\sin(4 \cdot \frac{\pi}{2}) \).(ગુણાકાર કરો.)
Step 3: Simplify angle: \( \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) \).(ખૂણાનું સાદું રૂપ આપો.)
Step 4: Evaluate trig values: \( 1 + i(0) \).(ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકો.)
Final Answer: \( 1 \)
Example 2: Simplify fraction of polar formsઉદાહરણ 2: સાદું રૂપ આપો
\( \frac{(\cos 2\theta + i\sin 2\theta)^{-3} (\cos 3\theta - i\sin 3\theta)^2}{(\cos 2\theta + i\sin 2\theta)^{-7} (\cos 5\theta - i\sin 5\theta)^3} \)
Step 1: Convert all terms to \( cis \) format: \( \text{cis}(2\theta)^{-3} \cdot \text{cis}(-3\theta)^2 \), etc.(બધા પદોને \( cis \) માં ફેરવો.)
Step 2: Numerator: \( \text{cis}(-6\theta) \cdot \text{cis}(-6\theta) = \text{cis}(-12\theta) \).(અંશનું સાદુંરૂપ.)
Step 3: Denominator: \( \text{cis}(-14\theta) \cdot \text{cis}(-15\theta) = \text{cis}(-29\theta) \).(છેદનું સાદુંરૂપ.)
Step 4: Divide (subtract angles): \( -12\theta - (-29\theta) = 17\theta \).(ભાગાકાર કરો, ખૂણાની બાદબાકી કરો.)
Final Answer: \( \cos(17\theta) + i\sin(17\theta) \)
Example 3: Evaluate \( (\cos 0 + i\sin 0)^7 \)ઉદાહરણ 3: કિંમત શોધો
Step 1: Apply theorem: multiply angle by 7.(પ્રમેય મુજબ ખૂણાને 7 વડે ગુણો.)
Step 2: It becomes \( \cos(7 \cdot 0) + i\sin(7 \cdot 0) \).(ગુણાકાર દર્શાવો.)
Step 3: Simplify angle: \( \cos(0) + i\sin(0) \).(સાદુંરૂપ.)
Step 4: Evaluate trig functions: \( 1 + i(0) \).(કિંમત મૂકો.)
Final Answer: \( 1 \)
Example 4: Prove \( (1+i)^4 = -4 \)ઉદાહરણ 4: સાબિત કરો
Step 1: Convert \( 1+i \) to polar form: \( \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) \).(ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવો.)
Step 2: Apply power 4: \( (\sqrt{2})^4 \cdot \text{cis}(4 \cdot \frac{\pi}{4}) \).(ઘાત 4 લગાવો અને દ-મોવિયર પ્રમેય વાપરો.)
Step 3: Evaluate Modulus: \( (\sqrt{2})^4 = 4 \).(માનાંકની ઘાત શોધો.)
Step 4: Evaluate Angle: \( \text{cis}(\pi) = -1 + i(0) = -1 \).(ખૂણાની કિંમત શોધો.)
Final Answer: \( 4 \cdot (-1) = -4 \) (Proved)
Definition: The square root yields two solutions symmetrically. The cube roots of unity are \(1, \omega, \omega^2\), which form an equilateral triangle on the complex plane. (Recall: \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) and \( \omega^3 = 1 \)).
વ્યાખ્યા: એકમના ઘનમૂળ \(1, \omega, \omega^2\) છે. \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) અને \( \omega^3 = 1 \).
Application: Solving polynomial equations and stabilizing dynamic networks.
ઉપયોગ: બહુપદી સમીકરણો ઉકેલવા અને ડાયનેમિક નેટવર્કમાં.
Example 1: Square root of \( 3+4i \)ઉદાહરણ 1: વર્ગમૂળ શોધો
Step 1: Find Modulus \( |Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \).(માનાંક શોધો.)
Step 2: Use Formula: \( \pm \left( \sqrt{\frac{|Z|+a}{2}} + i\text{sgn}(b)\sqrt{\frac{|Z|-a}{2}} \right) \).(વર્ગમૂળનું સૂત્ર વાપરો.)
Step 3: Here \( a=3, b=4 \) (positive, use +). Real part = \( \sqrt{\frac{5+3}{2}} = 2 \).(વાસ્તવિક ભાગ શોધો.)
Step 4: Imaginary part = \( \sqrt{\frac{5-3}{2}} = 1 \).(કાલ્પનિક ભાગ શોધો.)
Final Answer: \( \pm(2 + i) \)
Example 2: Square root of \( 5+12i \)ઉદાહરણ 2: વર્ગમૂળ શોધો
Step 1: Find Modulus \( |Z| = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \).(માનાંક શોધો.)
Step 2: Here \( a=5, b=12>0 \). Use positive sign in middle.(મધ્યમાં ધન ચિહ્ન વાપરો.)
Step 3: Substitute into formula: \( \pm \left( \sqrt{\frac{13+5}{2}} + i\sqrt{\frac{13-5}{2}} \right) \).(સૂત્રમાં કિંમત મૂકો.)
Step 4: Simplify: \( \sqrt{9} = 3 \) and \( \sqrt{4} = 2 \).(સાદુંરૂપ.)
Final Answer: \( \pm(3 + 2i) \)
Example 3: Square root of \( 7+24i \)ઉદાહરણ 3: વર્ગમૂળ શોધો
Step 1: Find Modulus \( |Z| = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25 \).(માનાંક શોધો.)
Step 2: Here \( a=7, b=24>0 \).(કિંમતો ઓળખો.)
Step 3: Substitute into formula: \( \pm \left( \sqrt{\frac{25+7}{2}} + i\sqrt{\frac{25-7}{2}} \right) \).(સૂત્રમાં કિંમત મૂકો.)
Step 4: Simplify: \( \sqrt{\frac{32}{2}} = 4 \) and \( \sqrt{\frac{18}{2}} = 3 \).(સાદુંરૂપ.)
Final Answer: \( \pm(4 + 3i) \)
Example 4: Find \( 1 + \omega + \omega^2 \)ઉદાહરણ 4: કિંમત શોધો
Step 1: Note roots: \( 1, \omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \).(ઘનમૂળ લખો.)
Step 2: Write the sum: \( 1 + (\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}) + (\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}) \).(સરવાળો લખો.)
Step 3: Take common denominator 2: \( \frac{2 - 1 + i\sqrt{3} - 1 - i\sqrt{3}}{2} \).(સામાન્ય છેદ 2 લો.)
Step 4: Cancel terms: \( 2 - 1 - 1 = 0 \).(પદો રદ કરો.)
Final Answer: \( 0 \)