Unit 4: Differential Equations

เชเช•เชฎ 4: เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเซ‹

Interactive Study Guide & Lab

4.1 Concept and Definition, Order and Degree
เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชจเซ‹ เช–เซเชฏเชพเชฒ, เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ, เช•เช•เซเชทเชพ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃ

2nd Order DE (Oscillator)
1st Order DE (Slope Field)

Definition (เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ)

An equation involving independent variables, dependent variables, and their differential coefficients (derivatives) is called a differential equation.

เชšเชฒเซ‹ (x, y) เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเชพ เชตเชฟเช•เชฒเชฟเชคเซ‹ ($\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \dots$) เชตเชšเซเชšเซ‡เชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชพเชคเซเชฎเช• เชธเช‚เชฌเช‚เชง เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชจเซ‡ เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

Order (เช•เช•เซเชทเชพ): The order of the highest order derivative present in the equation.
เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชฎเชพเช‚ เช†เชตเชคเชพ เช‰เชšเซเชšเชคเชฎ เช•เช•เซเชทเชพเชจเชพ เชตเชฟเช•เชฒเชฟเชคเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.
Degree (เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃ): The power of the highest order derivative, provided the equation is a polynomial in its derivatives.
เชฌเชนเซเชชเชฆเซ€ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชจเชพ เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชฎเชพเช‚ เช†เชตเชคเชพ เช‰เชšเซเชšเชคเชฎ เช•เช•เซเชทเชพเชจเชพ เชตเชฟเช•เชฒเชฟเชคเชจเซ€ เช˜เชพเชคเชจเซ‡ เชคเซ‡ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชจเซเช‚ เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.
Real-Life Application (เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชœเซ€เชตเชจเชฎเชพเช‚ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—):
Differential equations are used to model the swinging of a pendulum (physics), population growth in biology, and the cooling of a hot cup of coffee over time (Newton's Law of Cooling).
เชญเซŒเชคเชฟเช•เชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชฎเชพเช‚ เชฒเซ‹เชฒเช•เชจเซ€ เช—เชคเชฟ, เชœเซ€เชตเชตเชฟเชœเซเชžเชพเชจเชฎเชพเช‚ เชตเชธเซเชคเซ€ เชตเชงเชพเชฐเซ‹ เช…เชจเซ‡ เช—เชฐเชฎ เช•เซ‹เชซเซ€เชจเชพ เช เช‚เชกเชพ เชชเชกเชตเชพเชจเชพ เชฆเชฐเชจเซ€ เช—เชฃเชคเชฐเซ€ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเซ‹เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡.

Solved Examples (เช‰เช•เซ‡เชฒเซ‡เชฒเชพ เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹)

Example 1

Find Order and Degree:
$$ x\left(\frac{dy}{dx}\right) + \cos\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) = 0 $$
Order (เช•เช•เซเชทเชพ): 2
(Highest derivative is $\frac{d^2y}{dx^2}$)
Degree (เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃ): Not Defined (เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชจเชฅเซ€)
(Because the derivative is inside a cosine function, not a polynomial).

Example 2

Find Order and Degree:
$$ \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^4 + 3\left(\frac{dy}{dx}\right)^5 + 7y = 0 $$
Order (เช•เช•เซเชทเชพ): 2
Degree (เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃ): 4
(The power of the highest derivative $\frac{d^2y}{dx^2}$ is 4).

Example 3

Find Order and Degree:
$$ \left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^4 + y = 0 $$
Order (เช•เช•เซเชทเชพ): 3
Degree (เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃ): 2

Example 4

Find Order and Degree:
$$ \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^4 + 3\frac{dy}{dx} = 0 $$
Order (เช•เช•เซเชทเชพ): 2
Degree (เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃ): 4
(Highest power of the highest derivative present).

4.2 Solution by Variable Separable Method
เชตเชฟเชฏเซ‹เชœเชจเซ€เชฏ เชšเชฒเชจเซ€ เชฐเซ€เชคเชฅเซ€ เช‰เช•เซ‡เชฒ

Variable Separation Process
f(x)dx
g(y)dy

Concept (เช–เซเชฏเชพเชฒ)

If a first-order differential equation can be written such that all terms containing $x$ are on one side with $dx$, and all terms containing $y$ are on the other side with $dy$, it can be solved by direct integration.

เชœเซ‹ เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชจเซ‡ เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช•เซ‡ เชœเซเชฏเชพเช‚ $x$ เชจเชพ เชชเชฆเซ‹ $dx$ เชธเชพเชฅเซ‡ เช…เชจเซ‡ $y$ เชจเชพ เชชเชฆเซ‹ $dy$ เชธเชพเชฅเซ‡ เช…เชฒเช— เชชเชกเซ‡, เชคเซ‹ เชฌเช‚เชจเซ‡ เชฌเชพเชœเซ เชธเช‚เช•เชฒเชจ เช•เชฐเซ€เชจเซ‡ เช‰เช•เซ‡เชฒ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช›เซ‡.

Real-Life Application (เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชœเซ€เชตเชจเชฎเชพเช‚ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—):
Used in calculating radioactive decay where the rate of decay of a substance is directly proportional to the amount of substance currently present ($\frac{dN}{dt} = -kN$).
เช•เชฟเชฐเชฃเซ‹เชคเซเชธเชฐเซเช—เซ€ เชชเชฆเชพเชฐเซเชฅเซ‹เชจเชพ เชตเชฟเช˜เชŸเชจเชจเซ‹ เชฆเชฐ เชถเซ‹เชงเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เซ€ เช›เซ‡, เชœเซเชฏเชพเช‚ เชตเชฟเช˜เชŸเชจเชจเซ‹ เชฆเชฐ เชนเชพเชœเชฐ เชœเชฅเซเชฅเชพเชจเชพ เชธเชฎเชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเชฎเชพเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡.

Solved Examples (เช‰เช•เซ‡เชฒเซ‡เชฒเชพ เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹)

Example 1

Solve: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} $$
Separate variables (เชšเชฒเซ‹เชจเซ‡ เช…เชฒเช— เช•เชฐเชคเชพ):
$$ \frac{1}{y}dy = \frac{1}{x}dx $$
Integrate both sides (เชฌเช‚เชจเซ‡ เชฌเชพเชœเซ เชธเช‚เช•เชฒเชจ เช•เชฐเชคเชพ):
$$ \int \frac{1}{y}dy = \int \frac{1}{x}dx $$ $$ \log|y| = \log|x| + \log|c| $$
Final Answer: $$ y = cx $$

Example 2

Solve: $$ x\,dy + y\,dx = 0 $$
Separate variables:
$$ x\,dy = -y\,dx \implies \frac{1}{y}dy = -\frac{1}{x}dx $$
Integrate:
$$ \int \frac{1}{y}dy = -\int \frac{1}{x}dx $$ $$ \log|y| = -\log|x| + \log|c| $$
Final Answer:
$$ \log(xy) = \log(c) \implies xy = c $$

Example 3

Solve: $$ \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot e^{-y} $$
Separate variables:
$$ e^y\,dy = x^2\,dx $$
Integrate:
$$ \int e^y\,dy = \int x^2\,dx $$
Final Answer: $$ e^y = \frac{x^3}{3} + c $$

Example 4

Solve: $$ xy\,dy = (x+1)(y+1)dx $$
Separate variables:
$$ \frac{y}{y+1}dy = \frac{x+1}{x}dx $$ $$ \left(1 - \frac{1}{y+1}\right)dy = \left(1 + \frac{1}{x}\right)dx $$
Integrate:
$$ \int \left(1 - \frac{1}{y+1}\right)dy = \int \left(1 + \frac{1}{x}\right)dx $$
Final Answer:
$$ y - \log|y+1| = x + \log|x| + c $$

4.3 Solution of Linear Differential Equation
เชธเซเชฐเซ‡เช– เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชจเซ‹ เช‰เช•เซ‡เชฒ

Linear DE Family of Curves (y = ce^kx)

Concept (เช–เซเชฏเชพเชฒ)

A first-order linear differential equation has the standard form: $$ \frac{dy}{dx} + Py = Q $$ where $P$ and $Q$ are functions of $x$ or constants.

เชธเซเชฐเซ‡เช– เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃเชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเชฟเชค เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ เช›เซ‡, เชœเซเชฏเชพเช‚ $P$ เช…เชจเซ‡ $Q$ เช $x$ เชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹ เช…เชฅเชตเชพ เช…เชšเชณเชพเช‚เช• เช›เซ‡.

Step 1: Find Integrating Factor (I.F.) / เชธเช‚เช•เชฒเซเชฏเช•เชพเชฐเช• เช…เชตเชฏเชต = $e^{\int P dx}$

Step 2: General Solution is given by: $$ y \cdot (\text{I.F.}) = \int Q \cdot (\text{I.F.}) dx + c $$

Real-Life Application (เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชœเซ€เชตเชจเชฎเชพเช‚ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—):
Extensively used in electrical engineering to analyze RC and RL circuits, determining how voltage and current change over time when a switch is closed.
เช‡เชฒเซ‡เช•เซเชŸเซเชฐเชฟเช•เชฒ เชเชจเซเชœเชฟเชจเชฟเชฏเชฐเชฟเช‚เช—เชฎเชพเช‚ RC เช…เชจเซ‡ RL เชธเชฐเซเช•เชฟเชŸเชจเชพ เชตเชฟเชถเซเชฒเซ‡เชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡, เชตเซ‹เชฒเซเชŸเซ‡เชœ เช…เชจเซ‡ เช•เชฐเช‚เชŸเชจเซ‹ เชธเชฎเชฏ เชธเชพเชฅเซ‡เชจเซ‹ เชซเซ‡เชฐเชซเชพเชฐ เชœเชพเชฃเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชชเชฐเชพเชฏ เช›เซ‡.

Solved Examples (เช‰เช•เซ‡เชฒเซ‡เชฒเชพ เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹)

Example 1

Solve: $$ \frac{dy}{dx} + y = 3x $$
Here $P=1, Q=3x$.
I.F. $= e^{\int 1 dx} = e^x$
Solution: $$ y \cdot e^x = \int 3x \cdot e^x dx + c $$
Final Answer:
$$ y e^x = 3(xe^x - e^x) + c $$

Example 2

Solve: $$ \frac{dy}{dx} + 2y = 3e^x $$
Here $P=2, Q=3e^x$.
I.F. $= e^{\int 2 dx} = e^{2x}$
Solution: $$ y \cdot e^{2x} = \int 3e^x \cdot e^{2x} dx $$ $$ y e^{2x} = \int 3e^{3x} dx $$
Final Answer: $$ y e^{2x} = e^{3x} + c $$

Example 3

Solve: $$ \frac{dy}{dx} - y\tan x = 1 $$
Here $P=-\tan x, Q=1$.
I.F. $= e^{\int -\tan x dx} = e^{\log|\cos x|} = \cos x$
Solution: $$ y \cdot \cos x = \int 1 \cdot \cos x dx + c $$
Final Answer: $$ y \cos x = \sin x + c $$

Example 4

Solve: $$ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = e^x $$
Here $P=\frac{1}{x}, Q=e^x$.
I.F. $= e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$
Solution: $$ y \cdot x = \int x \cdot e^x dx + c $$
Final Answer:
$$ yx = x e^x - e^x + c $$

โš—๏ธ Linear DE Step-by-Step Solver
เชธเซเชฐเซ‡เช– เชตเชฟเช•เชฒ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ เช‰เช•เซ‡เชฒเช•เชฐเซเชคเชพ เชŸเซ‚เชฒ

Solve equations of the standard form:
dy/dx + [P]y = [Q]e[R]x

Enter variables and click Calculate to see the magic!

เชšเชฒ เชฆเชพเช–เชฒ เช•เชฐเซ‹ เช…เชจเซ‡ เช—เชฃเชคเชฐเซ€ เชฌเชŸเชจ เชชเชฐ เช•เซเชฒเชฟเช• เช•เชฐเซ‹.