નિશ્ચાયક અને વિધેય અભ્યાસ માર્ગદર્શિકા
Definition (વ્યાખ્યા): A scalar value that can be computed from the elements of a square matrix. / ચોરસ શ્રેણિકના ઘટકો પરથી મેળવી શકાતું અદિશ મૂલ્ય.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Used in engineering to solve complex systems of linear equations (like circuit analysis). / એન્જિનિયરિંગમાં સુરેખ સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમ્સ (જેમ કે સર્કિટ એનાલિસિસ) ઉકેલવા માટે.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
A $2 \times 2$ determinant is solved by cross-multiplying the primary diagonal and subtracting the secondary diagonal product. A $3 \times 3$ determinant requires expanding by minors along any row or column. / $2 \times 2$ નિશ્ચાયક મુખ્ય વિકર્ણના ગુણાકારમાંથી ગૌણ વિકર્ણનો ગુણાકાર બાદ કરીને ઉકેલાય છે. $3 \times 3$ નિશ્ચાયકને કોઈપણ હાર અથવા સ્તંભ દ્વારા વિસ્તૃત કરીને ઉકેલી શકાય છે.
Evaluate / કિંમત શોધો: $$ \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 6 \end{vmatrix} $$
Step-by-step:
$$ = (-1)(6) - (3)(-4) $$
$$ = -6 - (-12) $$
$$ = -6 + 12 = 6 $$
Solve for x / x શોધો: $$ \begin{vmatrix} x & -3 \\ -1 & x \end{vmatrix} = 33 $$
Step-by-step:
$$ (x)(x) - (-3)(-1) = 33 $$
$$ x^2 - 3 = 33 $$
$$ x^2 = 36 \implies x = \pm 6 $$
Evaluate / કિંમત શોધો: $$ \begin{vmatrix} -1 & 6 & -2 \\ 5 & 0 & 7 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} $$
Step-by-step:
$$ = -1(0 - 7) - 6(-15 - 28) - 2(5 - 0) $$
$$ = -1(-7) - 6(-43) - 2(5) $$
$$ = 7 + 258 - 10 = 255 $$
Solve for x / x શોધો: $$ \begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 7 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 30 $$
Step-by-step:
$$ x(0 - 7) - 2(10 - 21) + 3(5 - 0) = 30 $$
$$ -7x - 2(-11) + 15 = 30 $$
$$ -7x + 22 + 15 = 30 \implies -7x + 37 = 30 $$
$$ -7x = -7 \implies x = 1 $$
Solve for x / x શોધો: $$ \begin{vmatrix} 4 & 2 & x \\ 1 & 5 & -1 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 4 $$
Step-by-step:
$$ 4(15 - (-2)) - 2(3 - (-3)) + x(2 - 15) = 4 $$
$$ 4(17) - 2(6) + x(-13) = 4 $$
$$ 68 - 12 - 13x = 4 \implies 56 - 13x = 4 $$
$$ -13x = -52 \implies x = 4 $$
Definition (વ્યાખ્યા): A mathematical relation that uniquely associates elements of one set (inputs) with elements of another set (outputs). / એક ગણના સભ્યોને (ઇનપુટ) બીજા ગણના સભ્યો (આઉટપુટ) સાથે અનન્ય રીતે સાંકળતો ગાણિતિક સંબંધ.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Modeling physical phenomena, like calculating the distance a vehicle travels over a specific function of time. / સમયના વિધેય તરીકે વાહને કાપેલું અંતર માપવા જેવી ભૌતિક ઘટનાઓનું મોડેલિંગ.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
A function $f(x)$ maps an input $x$ to a unique output. To find the value of a function at a specific point, substitute the given value wherever $x$ appears in the equation. / વિધેય $f(x)$ એ ઇનપુટ $x$ ને અનન્ય આઉટપુટ સાથે સાંકળે છે. કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર વિધેયની કિંમત શોધવા માટે, જ્યાં સમીકરણમાં $x$ દેખાય ત્યાં આપેલી કિંમત મૂકો.
If $f(x) = x^2 - 3x + 1$, find $f(2) + f(3)$.
Step-by-step:
Find $f(2)$: $f(2) = (2)^2 - 3(2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1$
Find $f(3)$: $f(3) = (3)^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$
Add them: $f(2) + f(3) = -1 + 1 = 0$
If $f(x) = 5^x$, find $f(-2)$.
Step-by-step:
Substitute $x = -2$ / $x = -2$ મૂકો:
$$ f(-2) = 5^{-2} $$
Using negative exponent rule:
$$ = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $$
If $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$, prove $f(x) + f(1/x) = 0$.
Step-by-step:
Calculate $f(1/x)$:
$$ f(1/x) = \frac{1 - 1/x}{1 + 1/x} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x+1} $$
Notice that $\frac{x-1}{x+1} = - \left(\frac{1-x}{1+x}\right) = -f(x)$
Therefore, $f(x) + f(1/x) = f(x) - f(x) = 0$.
If $f(x) = e^x$, prove $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$.
Step-by-step:
LHS: Substitute $(x+y)$ into the function:
$$ f(x+y) = e^{x+y} $$
Using exponent rules $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$$ e^{x+y} = e^x \cdot e^y = f(x) \cdot f(y) $$
If $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$, prove $f(f(x)) = x$.
Step-by-step:
Substitute $f(x)$ inside $f(x)$:
$$ f(f(x)) = \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)} = \frac{1 - (\frac{1-x}{1+x})}{1 + (\frac{1-x}{1+x})} $$
Find common denominator:
$$ = \frac{\frac{1+x - (1-x)}{1+x}}{\frac{1+x + 1-x}{1+x}} = \frac{2x}{2} = x $$
Definition (વ્યાખ્યા): The inverse function to exponentiation. It represents the power to which a base must be raised to produce a given number. / ઘાતાંકનું વ્યસ્ત વિધેય. આપેલી સંખ્યા મેળવવા માટે આધારની કેટલી ઘાત કરવી પડે તે દર્શાવે છે.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Measuring earthquake magnitude on the Richter scale, where each whole number step represents a tenfold increase in measured amplitude. / રિક્ટર સ્કેલ પર ભૂકંપની તીવ્રતા માપવા, જ્યાં દરેક અંકનો વધારો દસ ગણો વધારો દર્શાવે છે.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
If $a^y = x$, then the base-$a$ logarithm of $x$ is $y$, written as $\log_a x = y$. The base $a$ must be positive and not equal to 1. / જો $a^y = x$ હોય, તો $x$ નો $a$ આધારનો લઘુગણક $y$ થાય છે, જેને $\log_a x = y$ લખાય છે. આધાર હંમેશા ધન અને 1 સિવાયનો હોવો જોઈએ.
Find value / કિંમત શોધો: $\log_3 1$
Step-by-step:
Let $\log_3 1 = x$. In exponential form:
$$ 3^x = 1 $$
Since any non-zero number to the power of 0 is 1 ($3^0 = 1$):
$$ x = 0 $$
If $\log_x (9/16) = -2$, find $x$.
Step-by-step:
Convert to exponential form / ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતાં:
$$ x^{-2} = \frac{9}{16} $$
$$ \frac{1}{x^2} = \frac{9}{16} \implies x^2 = \frac{16}{9} $$
Since the base of a logarithm must be positive:
$$ x = \frac{4}{3} $$
Find value / કિંમત શોધો: $4^{\log_4 16}$.
Step-by-step:
Using the identity (નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા): $a^{\log_a N} = N$
Here, $a = 4$ and $N = 16$.
$$ 4^{\log_4 16} = 16 $$
If $\sqrt{\log_3 x} = 2$, find $x$.
Step-by-step:
Square both sides / બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$$ \log_3 x = 2^2 = 4 $$
Convert to exponential form:
$$ x = 3^4 \implies x = 81 $$
Definition (વ્યાખ્યા): Mathematical rules (Product, Quotient, Power, and Base Change laws) that allow the simplification of complex logarithmic expressions. / ગાણિતિક નિયમો (ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને આધાર પરિવર્તન) જે લઘુગણક સમીકરણોને સરળ બનાવે છે.
Real-life Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Simplifying complex multiplication and division in sound engineering when working with decibels (dB). / સાઉન્ડ એન્જિનિયરિંગમાં ડેસિબલ્સ (dB) સાથે કામ કરતી વખતે જટિલ ગણતરીઓ સરળ કરવા.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
The laws of logarithms transform multiplication into addition ($\log(xy) = \log x + \log y$), division into subtraction ($\log(x/y) = \log x - \log y$), and exponentiation into multiplication ($\log(x^y) = y \log x$). The base change formula allows us to swap bases: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. / લઘુગણકના નિયમો ગુણાકારને સરવાળામાં, ભાગાકારને બાદબાકીમાં અને ઘાતાંકને ગુણાકારમાં ફેરવે છે. આધાર પરિવર્તન સૂત્ર આધાર બદલવામાં મદદ કરે છે.
Find value: $\log 1 \cdot \log 2 \cdot \log 3 \cdot \log 4$.
Step-by-step:
We know that $\log 1 = 0$.
$$ = 0 \cdot \log 2 \cdot \log 3 \cdot \log 4 $$
$$ = 0 $$
Prove: $\frac{1}{\log_{24} 12} + \frac{1}{\log_{8} 12} + \frac{1}{\log_{9} 12} = 3$.
Step-by-step:
Using Base Change Rule (આધાર પરિવર્તન નિયમ): $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$
LHS: $\log_{12} 24 + \log_{12} 8 + \log_{12} 9$
$$ = \log_{12} (24 \times 8 \times 9) = \log_{12} (1728) $$
$$ = \log_{12} (12^3) = 3 \log_{12} 12 = 3 $$
If $\log \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}(\log x + \log y)$, prove $x = y$.
Step-by-step:
$$ \log \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}\log(xy) = \log(xy)^{1/2} $$
Remove log: $\frac{x+y}{2} = \sqrt{xy}$
Square both sides: $(x+y)^2 = 4xy$
$$ x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = 0 \implies (x-y)^2 = 0 \implies x = y $$
Solve: $\frac{\log x \times \log 16}{\log 32} = \log 256$.
Step-by-step:
Express values as powers of 2:
$$ \frac{\log x \times \log(2^4)}{\log(2^5)} = \log(2^8) $$
$$ \frac{\log x \times 4\log 2}{5\log 2} = 8\log 2 \implies \frac{4}{5}\log x = 8\log 2 $$
$$ \log x = 10\log 2 = \log(2^{10}) \implies x = 1024 $$
Prove: $7\log(16/15) + 5\log(25/24) - 3\log(80/81) = \log 2$.
Step-by-step:
Convert to prime factors $2, 3, 5$:
$$ 7(\log 2^4 - \log(3 \cdot 5)) + 5(\log 5^2 - \log(2^3 \cdot 3)) - 3(\log(2^4 \cdot 5) - \log 3^4) $$
Collect terms for $\log 2$: $(7 \times 4) + (5 \times -3) - (3 \times 4) = 28 - 15 - 12 = 1$
Collect for $\log 3$: $(7 \times -1) + (5 \times -1) - (3 \times -4) = -7 - 5 + 12 = 0$
Collect for $\log 5$: $(7 \times -1) + (5 \times 2) - (3 \times 1) = -7 + 10 - 3 = 0$
Result: $1\log 2 = \log 2$.
Prove: $\frac{1}{\log_{xy} xyz} + \frac{1}{\log_{yz} xyz} + \frac{1}{\log_{zx} xyz} = 2$.
Step-by-step:
Base change: $\log_{xyz} (xy) + \log_{xyz} (yz) + \log_{xyz} (zx)$
Using Product Rule (ગુણાકાર નિયમ):
$$ = \log_{xyz} (xy \cdot yz \cdot zx) $$
$$ = \log_{xyz} (x^2 y^2 z^2) = \log_{xyz} (xyz)^2 = 2 $$
ઇન્ટરેક્ટિવ પ્રયોગશાળા: ગણિત ટૂલકિટ