સદિશ અભ્યાસ માર્ગદર્શિકા
Definition (વ્યાખ્યા): A vector is a mathematical entity that has both magnitude (length) and direction. / સદિશ એ એક ગાણિતિક એકમ છે જેને મૂલ્ય (લંબાઈ) અને દિશા બંને હોય છે.
Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Representing the velocity of an airplane while factoring in wind speed to find the actual flight path. / પવનની ગતિને ધ્યાનમાં રાખીને વિમાનના વાસ્તવિક માર્ગ અને વેગને દર્શાવવા.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
A vector in 3D space is often represented by components along the X, Y, and Z axes using basis vectors $i, j, k$. Thus, $\vec{a} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$ or simply $(a_1, a_2, a_3)$.
ત્રિ-પરિમાણીય (3D) અવકાશમાં સદિશને X, Y અને Z અક્ષો પરના ઘટકો $i, j, k$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી, $\vec{a} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$ અથવા ટૂંકમાં $(a_1, a_2, a_3)$.
Operations (પ્રક્રિયાઓ):
• Addition/Subtraction (સરવાળો/બાદબાકી): You add or subtract the respective components (x with x, y with y, z with z).
અનુરૂપ ઘટકોનો (x સાથે x, y સાથે y, z સાથે z) સરવાળો કે બાદબાકી કરવામાં આવે છે.
• Magnitude (મૂલ્ય): The total length of the vector, calculated using the 3D distance formula.
સદિશની કુલ લંબાઈ, જે 3D અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
If $\vec{a} = (1,2,3)$, $\vec{b} = (4,0,0)$ and $\vec{c}=(2,0,1)$ find $2\vec{a} + 3\vec{b} - 5\vec{c}$.
Step-by-step:
Substitute vectors / સદિશોની કિંમત મુકો:
$$ 2(1,2,3) + 3(4,0,0) - 5(2,0,1) $$
$$ = (2,4,6) + (12,0,0) - (10,0,5) $$
Add and subtract corresponding components:
$$ = (2+12-10, 4+0-0, 6+0-5) = (4, 4, 1) $$
Find the magnitude of $|2i - 3j + 4k|$.
Step-by-step:
Use the magnitude formula / મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર વાપરો:
$$ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
$$ |\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (4)^2} $$
$$ = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} $$
If $\vec{a} = i + 2j + k$, $\vec{b} = 2i - 3j + k$, $\vec{c} = -2i - j + 5k$ find $|2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}|$.
Step-by-step:
First find $2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}$:
$$ = (2,4,2) + (6,-9,3) - (-2,-1,5) $$
$$ = (2+6+2, 4-9+1, 2+3-5) = (10, -4, 0) $$
Now find magnitude:
$$ \sqrt{10^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} $$
If $\vec{a} = 2i - 3j$ and $\vec{b} = 3i - 5j$ then find $(2\vec{a} - \vec{b})$.
Step-by-step:
Multiply $\vec{a}$ by 2 / સદિશ $\vec{a}$ ને 2 વડે ગુણો:
$$ 2\vec{a} = (4, -6) $$
Subtract $\vec{b}$ / બાદબાકી કરો:
$$ (4, -6) - (3, -5) = (4-3, -6-(-5)) $$
$$ = (1, -1) \text{ or } i - j $$
Find the direction cosines and direction angles of the vector $\vec{a} = 5i - 12k$.
Step-by-step:
Magnitude / મૂલ્ય: $|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$
Direction Cosines / દિશા કોસાઇન:
$$ l = \frac{5}{13}, \quad m = 0, \quad n = \frac{-12}{13} $$
Direction Angles / દિશા ખૂણાઓ:
$$ \alpha = \cos^{-1}(5/13), \quad \beta = 90^\circ, \quad \gamma = \cos^{-1}(-12/13) $$
Prove that the points $A(1,0), B(-1,2), C(0,1)$ are collinear.
Step-by-step:
Find vectors / સદિશો શોધો: $\vec{AB} = B - A = (-2, 2)$
$\vec{BC} = C - B = (1, -1)$
Notice the relationship / સંબંધ જુઓ:
$$ \vec{AB} = -2(1, -1) = -2\vec{BC} $$
Since $\vec{AB}$ is a scalar multiple of $\vec{BC}$ and they share point B, they are collinear. / બંને સમરેખ છે.
Definition (વ્યાખ્યા): Scalar product (Dot product) yields a single number. Vector product (Cross product) yields a new vector perpendicular to both original vectors. / અદિશ ગુણાકાર એક સંખ્યા આપે છે, જ્યારે સદિશ ગુણાકાર એક નવો સદિશ આપે છે જે બંને મૂળ સદિશોને લંબ હોય છે.
Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Calculating magnetic force on a moving charge uses the vector product (cross product) of velocity and magnetic field vectors. / ફરતા વિદ્યુતભાર પર ચુંબકીય બળની ગણતરી વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરે છે.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
1. Scalar Product (અદિશ ગુણાકાર / Dot Product):
When two vectors are multiplied to yield a scalar (a simple number without direction). It is calculated by multiplying matching components and summing them up.
જ્યારે બે સદિશોનો ગુણાકાર કરવાથી પરિણામ અદિશ (દિશા વગરની સંખ્યા) મળે છે. સમાન ઘટકોનો ગુણાકાર કરી તેમનો સરવાળો કરવાથી આ મળે છે.
Properties (ગુણધર્મો): It is commutative ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$). If two non-zero vectors are perpendicular, their dot product is zero.
2. Vector Product (સદિશ ગુણાકાર / Cross Product):
When two vectors are multiplied to yield a third vector that is perpendicular (at exactly $90^\circ$) to the plane containing the original two. It is solved using a determinant matrix.
જ્યારે બે સદિશોનો ગુણાકાર કરવાથી મળતું પરિણામ એક નવો સદિશ હોય છે, જે મૂળ બંને સદિશોને સંપૂર્ણપણે લંબ ($90^\circ$) હોય. આને નિશ્ચાયક (determinant) ની મદદથી ઉકેલવામાં આવે છે.
Properties (ગુણધર્મો): It is NOT commutative ($\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$). The cross product of parallel vectors is zero.
If $\vec{a} = 2i - j + k$ and $\vec{b} = i + j + k$ then find $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Step-by-step:
Multiply corresponding components and add / સંબંધિત ઘટકોનો ગુણાકાર કરી સરવાળો કરો:
$$ = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(1) $$
$$ = 2 - 1 + 1 = 2 $$
If $\vec{a} = i+j+k$ and $\vec{b} = 2i+2j+2k$ then find $\vec{a} \times \vec{b}$.
Step-by-step:
Use the determinant method (નિશ્ચાયક પદ્ધતિ):
$$ \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} $$
$$ = i(2-2) - j(2-2) + k(2-2) $$
$$ = 0i - 0j + 0k = (0, 0, 0) $$
If $(1, -2, 3) \cdot (4, 5, m) = 0$, find $m$.
Step-by-step:
Apply dot product logic / અદિશ ગુણાકાર કરો:
$$ (1)(4) + (-2)(5) + (3)(m) = 0 $$
$$ 4 - 10 + 3m = 0 $$
$$ -6 + 3m = 0 \implies 3m = 6 \implies m = 2 $$
Find $(10i+2j+3k) \cdot [(i-2j+2k) \times (3i-2j-2k)]$.
Step-by-step:
First find Cross Product $\vec{b} \times \vec{c}$:
$$ \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = i(4+4) - j(-2-6) + k(-2+6) = 8i + 8j + 4k $$
Now apply Dot Product $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$:
$$ (10, 2, 3) \cdot (8, 8, 4) = 80 + 16 + 12 = 108 $$
If $\vec{x} = 3i - 8j$ and $\vec{y} = 5j - 4k$, find $|(\vec{x} + \vec{y}) \times (\vec{x} - \vec{y})|$.
Step-by-step:
Property: $(\vec{x} + \vec{y}) \times (\vec{x} - \vec{y}) = -2(\vec{x} \times \vec{y})$
$$ \vec{x} \times \vec{y} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -8 & 0 \\ 0 & 5 & -4 \end{vmatrix} = 32i + 12j + 15k $$
$$ -2(\vec{x} \times \vec{y}) = -64i - 24j - 30k $$
Magnitude: $\sqrt{(-64)^2 + (-24)^2 + (-30)^2} = \sqrt{5572} = 2\sqrt{1393}$
Find the unit vector perpendicular to $\vec{a} = (1, -1, 1)$ and $\vec{b} = (2, 3, -1)$.
Step-by-step:
Find Cross Product for perpendicular vector / લંબ સદિશ માટે:
$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = -2i + 3j + 5k $$
Magnitude / મૂલ્ય: $\sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{38}$
Unit Vector = $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-2i + 3j + 5k}{\sqrt{38}}$
Definition (વ્યાખ્યા): The shortest angle formed between two vectors when they are placed tail-to-tail. / બે સદિશોના ઉગમબિંદુને સાથે રાખવાથી તેમની વચ્ચે બનતો નાનામાં નાનો ખૂણો.
Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Determining the angle of incidence of light rays bouncing off surfaces in 3D computer graphics (Raytracing). / 3D કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં સપાટી પરથી પાછા ફરતા પ્રકાશના કિરણોનો આપાતકોણ નક્કી કરવા.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
To find the angle $\theta$ between any two vectors, we rearrange the geometric definition of the dot product: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$. By isolating $\cos\theta$, we can calculate the exact angle using inverse cosine.
કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે, આપણે અદિશ ગુણાકારની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જેમાં $\cos\theta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવીને પ્રતિવિધેય (inverse cosine) દ્વારા ચોક્કસ ખૂણો મેળવી શકાય છે.
Perpendicularity (લંબની શરત): If the angle between vectors is exactly $90^\circ$, then $\cos(90^\circ) = 0$. Therefore, the dot product of two perpendicular vectors is always strictly 0.
જો સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો બરાબર $90^\circ$ હોય, તો $\cos(90^\circ) = 0$ થાય છે. પરિણામે, બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા 0 જ હોય છે.
Show that the angle between vectors $i-j$ and $2i+j-k$ is $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$.
Step-by-step:
Find Dot Product / અદિશ ગુણાકાર શોધો:
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (-1)(1) + (0)(-1) = 2 - 1 = 1 $$
Find Magnitudes / મૂલ્યો શોધો:
$$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$
$$ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} $$
$$ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} $$
For what value of $p$, the vectors $2i + 3j - 5k$ and $pi + j + 3k$ are perpendicular?
Step-by-step:
For perpendicular vectors, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$$ (2)(p) + (3)(1) + (-5)(3) = 0 $$
$$ 2p + 3 - 15 = 0 $$
$$ 2p - 12 = 0 \implies 2p = 12 \implies p = 6 $$
For what value of $m$, the vectors $2i - 3j + 5k$ and $mi - 6j - 8k$ are perpendicular?
Step-by-step:
For perpendicular vectors, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$$ (2)(m) + (-3)(-6) + (5)(-8) = 0 $$
$$ 2m + 18 - 40 = 0 $$
$$ 2m - 22 = 0 \implies 2m = 22 \implies m = 11 $$
Show that the angle between vectors $i+2j$ and $i+j+3k$ is $\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{46}{55}}\right)$.
Step-by-step:
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(1) + (0)(3) = 3 $$
$$ |\vec{a}| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{1+1+9} = \sqrt{11} $$
$$ \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{55}} $$
Using $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$:
$$ \sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{\sqrt{55}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{55}} = \sqrt{\frac{46}{55}} $$
Prove that angle between vectors $3i + j + 2k$ and $2i - 2j + 4k$ is $\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$.
Step-by-step:
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 6 - 2 + 8 = 12 $$
$$ |\vec{a}| = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} $$
$$ \cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{24}} = \frac{12}{\sqrt{336}} = \frac{12}{4\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{9}{21}} = \sqrt{\frac{3}{7}} $$
$$ \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} $$
Definition (વ્યાખ્યા): Work Done is the scalar product of applied Force and displacement. Moment of force (torque) is the vector product of position vector and force. / થયેલ કાર્ય એ લાગુ કરેલ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે. બળની ચાકમાત્રા એ સ્થાન સદિશ અને બળનો સદિશ ગુણાકાર છે.
Application (વાસ્તવિક ઉપયોગ): Using a wrench to tighten a bolt involves calculating the Moment of Force based on lever length and applied angle. / બોલ્ટને કડક કરવા માટે પાના (wrench) નો ઉપયોગ કરતી વખતે બળની ચાકમાત્રાની ગણતરી થાય છે.
Detailed Explanation / વિસ્તૃત સમજૂતી:
1. Work Done (કાર્ય - W): In physics, work is only done when a force causes a displacement. Because work is a scalar quantity (just an amount of energy, like Joules), we use the dot product. If multiple forces act on a body, you must first find the Resultant Force by adding all individual forces together before applying the dot product.
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જ્યારે બળ દ્વારા સ્થાનાંતર થાય ત્યારે જ કાર્ય થયેલું ગણાય છે. કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે (જેમ કે જુલ), તેથી આપણે અદિશ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો પદાર્થ પર બહુવિધ બળો લાગતા હોય, તો પહેલા તમામ બળોનો સરવાળો કરીને પરિણામી બળ (Resultant Force) શોધવું પડે છે.
2. Moment of Force / Torque (ચાકમાત્રા - M): Torque measures the rotational effect of a force. It depends on both the force applied and the distance from the pivot point (Position Vector $\vec{r}$). Because torque has a specific direction (axis of rotation), we use the cross product.
ચાકમાત્રા બળની પરિભ્રમણ (રોટેશનલ) અસરને માપે છે. તે લાગુ પડેલા બળ અને કેન્દ્રબિંદુથી અંતર (સ્થાન સદિશ $\vec{r}$) બંને પર આધારિત છે. ચાકમાત્રાને ચોક્કસ દિશા (પરિભ્રમણની ધરી) હોવાથી આપણે સદિશ ગુણાકાર (Cross Product) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
A particle moves from point $(1,2,-3)$ to $(5,3,7)$ under the effect of forces $2i+j+k$ and $i+j-3k$. Find work done.
Step-by-step:
Total Force / કુલ બળ $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$:
$$ \vec{F} = (2,1,1) + (1,1,-3) = (3, 2, -2) $$
Displacement / સ્થાનાંતર $\vec{d} = B - A$:
$$ \vec{d} = (5,3,7) - (1,2,-3) = (4, 1, 10) $$
Work / કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$:
$$ W = (3)(4) + (2)(1) + (-2)(10) = 12 + 2 - 20 = -6 $$
Forces $(3, -2, 1)$ and $(-1, -1, 2)$ act on a particle and it moves from $(2, 2, -3)$ to $(-1, 2, 4)$. Find the work done.
Step-by-step:
Total Force / કુલ બળ $\vec{F}$:
$$ \vec{F} = (3,-2,1) + (-1,-1,2) = (2, -3, 3) $$
Displacement / સ્થાનાંતર $\vec{d}$:
$$ \vec{d} = (-1,2,4) - (2,2,-3) = (-3, 0, 7) $$
Work / કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$:
$$ W = -6 + 0 + 21 = 15 $$
A particle under constant forces $(1, 2, 3)$ and $(3, 1, 1)$ is displaced from $(0, 1, -2)$ to $(5, 1, 2)$. Calculate total work done.
Step-by-step:
Total Force / કુલ બળ $\vec{F}$:
$$ \vec{F} = (1,2,3) + (3,1,1) = (4, 3, 4) $$
Displacement / સ્થાનાંતર $\vec{d}$:
$$ \vec{d} = (5,1,2) - (0,1,-2) = (5, 0, 4) $$
Work / કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$:
$$ W = (4)(5) + (3)(0) + (4)(4) = 20 + 0 + 16 = 36 $$
A particle moves from $(-1,2,1)$ to $(2,3,-1)$ under the effect of forces $(1,2,1)$ and $(2,-1,0)$. Find work done.
Step-by-step:
Total Force / કુલ બળ $\vec{F}$:
$$ \vec{F} = (1,2,1) + (2,-1,0) = (3, 1, 1) $$
Displacement / સ્થાનાંતર $\vec{d}$:
$$ \vec{d} = (2,3,-1) - (-1,2,1) = (3, 1, -2) $$
Work / કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$:
$$ W = (3)(3) + (1)(1) + (1)(-2) = 9 + 1 - 2 = 8 $$
Find the moment of force $\vec{F} = 3i + 2j - 4k$ acting at point $P(1, -1, 2)$ about the point $Q(2, -1, 3)$.
Step-by-step:
Position vector / સ્થાન સદિશ $\vec{r} = P - Q$:
$$ \vec{r} = (1-2)i + (-1 - (-1))j + (2-3)k = -i + 0j - k $$
Moment of force / બળની ચાકમાત્રા $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$:
$$ \vec{M} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} $$
$$ = i(0 - (-2)) - j(4 - (-3)) + k(-2 - 0) $$
$$ = 2i - 7j - 2k $$
ઇન્ટરેક્ટિવ પ્રયોગશાળા: સદિશ કેલ્ક્યુલેટર
સદિશ પ્રક્રિયાઓ
ગુણાકાર અને ખૂણો (Uses Vectors A & B above)
કાર્ય અને બળની ચાકમાત્રા